ДОМ

Что такое синус, косинус, тангес, котангес

Что такое синус

Синус — одна из тригонометрических функций, обозначется sin.
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.

• sin (0°) = 0
• sin (30°) = sin (π/6) = 1/2
• sin (45°) = sin (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• sin (60°) = sin (π/3) = (√3)/2
• sin (90°) = sin (π/2) = 1
• sin (180°) = sin (π) = 0
• sin (270°) = sin (3π/2) = –1
  

Теорема синусов

Теорема синусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:

Для произвольного треугольника a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Доказательство теоремы синусов:
Достаточно доказать следующие положения:
a/sinα = 2R

Проведем диаметр BG для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол BCG прямой и угол при вершине G треугольника BCG равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π - α в противном случае. Поскольку sin(π - α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R

Производная синуса

Производная синуса равна косинусу: sin(x)' = cos(x) = sin (x+π/4).

Производная косинуса равна синусу, взятому с обратным знаком: cos(x)' = –sin(x) = cos(x+π/4).

Для запоминания этого факта есть мнемонический прием:

• синий косяк (производная синуса равна косинусу)
• косяк — синий (производная косинуса равна минус (тире) синусу)

Иначе говоря, взятие производной синуса и косинуса эквивалентно сдвигу функции на четверть периода. Отсюда сдедует, что вторые производные синуса и косинуса равны самим этим функциям, взятым с обратным знаком:

sin(x)'' = –sin(x).

cos(x)'' = –cos(x).

А четвертые производные синуса и косинуса совпадают с исходной функцией:

sin(x)'''' = sin(x).

cos(x)'''' = cos(x).

Чему равен синус 30 градусов

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.
Значения синусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный):

• sin (0°) = 0
• sin (30°) = sin (π/6) = 1/2
• sin (45°) = sin (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• sin (60°) = sin (π/3) = (√3)/2
• sin (90°) = sin (π/2) = 1
• sin (180°) = sin (π) = 0
• sin (270°) = sin (3π/2) = –1

Что такое косинус

Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos.
В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.
Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный):

• сos (0°) = 1
• сos (30°) = cos (π/6) = (√3)/2
• сos (45°) = cos (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• сos (60°) = cos (π/3) = 1/2
• сos (90°) = cos (π/2) = 0
• cos (180°) = cos (π) = –1
• сos (270°) = cos (3π/2) = 0
  

Теорема косинусов

Теорема косинусов - квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними:

a² = b² + c² − 2 b c cos α.

Производная косинуса равна синусу, взятому с обратным знаком:

cos(x)' = –sin(x) = cos(x+π/4).

Для запоминания этого факта есть мнемонический прием:

• синий косяк (производная синуса равна косинусу)
• косяк — синий (производная косинуса равна минус (тире) синусу)

Иначе говоря, взятие производной синуса и косинуса эквивалентно сдвигу функции на четверть периода. Отсюда сдедует, что вторые производные синуса и косинуса равны самим этим функциям, взятым с обратным знаком:

sin(x)'' = –sin(x).

cos(x)'' = –cos(x).

А четвертые производные синуса и косинуса совпадают с исходной функцией:

sin(x)'''' = sin(x).

cos(x)'''' = cos(x).

Чему равен косинус 30 градусов

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.
Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный):

• сos (0°) = 1
• сos (30°) = cos (π/6) = (√3)/2
• сos (45°) = cos (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• сos (60°) = cos (π/3) = 1/2
• сos (90°) = cos (π/2) = 0
• cos (180°) = cos (π) = –1
• сos (270°) = cos (3π/2) = 0

Что такое тангенс

Тангенс — одна из тригонометрических функций, обозначется tg (в англоязычной традиции — tan).
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значение тангенса легко найти, зная синус и косинус угла:
tg(α) = sin(α)/cos(α).
Значения тангенсов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный):

• tg (0°) = 0
• tg (30°) = tg (π/6) = (√3)/3 = 1/√3
• tg (45°) = tg (π/4) = 1
• tg (60°) = tg (π/3) = √3
• tg (90°) = tg (π/2) = +∞ (значение не определено, вблизи 90° тангенс стремится к бесконечности)
• tg (180°) = tg (π) = 0
• tg (270°) = tg (3π/2) = –∞ (значение не определено, вблизи 90° тангенс стремится к бесконечности)
• tg (360°) = tg (2π) = 0
  

Что такое котангес

Котангенс - одна из тригонометрических функций, обозначется ctg. Котангенсом угла в треугольнике называют отношение прилежащего катета, к противолежащему катету.

Основные значения котангенсов:
Ctg (0 градусов) стремится к бесконечности
Ctg (30 градусов) = (корень из трёх)
Ctg (45 градусов) = 1
Ctg (60 градусов) = 1/(корень из трёх)
Ctg (90 градусов) = 0